重力波の導出に関するノート
アインシュタイン方程式から出発して、重力波を導出することはできないだろうか？ 多くの仮定を伴うものの、導き出すことができた。
まず、計量 \(g_{ik}\) を考える。平坦な時空からの非常に小さな摂動（弱い重力場）を想定し、次のように表す。
\[\begin{equation} g_{ik} = g_{ik}^{(0)} + h_{ik} \quad (h_{ik} \ll 1) \tag{107.1} \end{equation}\]反変テンソル \(g^{ik}\) については、\(g_{il}g^{lk} = (g_{il}^{(0)} + h_{il})g^{lk} = \delta_i^k\) を満たす必要があるため、適切な \(g^{ik}\) の形を考える。
\(g^{ik} = g^{(0)ik} - h^{ik} + h^i_l h^{lk}\) ならば、
\[\begin{align*} g_{il}g^{lk} &= (g_{il}^{(0)} + h_{il})(g^{(0)ik} - h^{ik} + h^i_l h^{lk}) \\ \delta_i^k &= g^{(0)}_{il}g^{(0)lk} - g_{il}^{(0)}h^{lk} + g_{il}^{(0)}h^l_m h^{mk} + h_{il}g^{(0)lk} - h_{il}h^{lk} + h_{il}h^l_m h^{mk} \end{align*}\]となり、\(O(h^3)\) で等しくなる。 あらためて、\(g^{ik} = g^{(0)ik} - h^{ik} + h^i_l h^{lk}\) とする。
行列式も \(g = g^{(0)}(1+h) \quad (h \equiv h^i_i)\) と近似する。
次に、微小な座標変換 \(x'^i = x^i + \xi^i\) を考える。前提として \(\xi^i \ll 1\) とする。
テンソルの定義より、
\[\begin{align*} g'^{ik}(x'^l) &= g^{nm}(x^l) \frac{\partial x'^i}{\partial x^n} \frac{\partial x'^k}{\partial x^m} \\ &= g^{nm} \left( \delta^i_n + \frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} \right) \left( \delta^k_m + \frac{\partial \xi^k}{\partial x^m} \right) \\ &\simeq g^{nm}(x^l) \left( \delta^i_n\delta^k_m + \delta^i_n\frac{\partial \xi^k}{\partial x^m} + \delta^k_m\frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} \right) \\ &= g^{ik}(x^l) + g^{im} \frac{\partial \xi^k}{\partial x^m} + g^{kn} \frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} \end{align*}\]\(g'^{ik}(x'^l)\) （すなわち \(g'^{ik}(x^l + \xi^l)\)）を \(\xi\) の冪乗で展開し、
\[\begin{align*} g'^{ik}(x^l + \xi^l) &= \sum \frac{\xi^n}{n!} \frac{\partial g^{(n)'ik}(x^l)}{\partial x^n} \\ &\rightarrow g'^{ik}(x^l) + \xi^l \frac{\partial g'^{ik}(x^l)}{\partial x^l} \\ &\rightarrow g'^{ik}(x^l) + \xi^l \frac{\partial g^{ik}(x^l)}{\partial x^l} \end{align*}\]したがって、
\[\begin{align*} g'^{ik}(x^l) + \xi^l \frac{\partial g^{ik}(x^l)}{\partial x^l} &= g^{ik}(x^l) + g^{im} \frac{\partial \xi^k}{\partial x^m} + g^{kn} \frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} \\ g'^{ik}(x^l) &= g^{ik}(x^l) - \xi^l \frac{\partial g^{ik}(x^l)}{\partial x^l} + g^{im} \frac{\partial \xi^k}{\partial x^m} + g^{kn} \frac{\partial \xi^i}{\partial x^n} \\ g'^{ik}(x^l) &= g^{ik}(x^l) + \delta g^{ik} \quad (\delta g^{ik} = \xi^{i,k} + \xi^{k;i} \quad \text{※反変導関数の和}) \\ g'^{(0)ik}(x^l) - h'^{ik} &= g^{(0)ik}(x^l) - h^{ik} + \delta g^{ik} \\ h'^{ik} &= h^{ik} - \delta g^{ik} \\ h'^{ik} &= h^{ik} - \frac{\partial \xi^k}{\partial x_i} - \frac{\partial \xi^i}{\partial x_k} \end{align*}\]同様に共変成分については、
\[\begin{align*} g'_{ik}(x^l) &= g_{ik}(x^l) + \delta g_{ik} \quad (\delta g_{ik} = -\xi_{i,k} - \xi_{k;i}) \\ g'_{(0)ik}(x^l) + h'_{ik} &= g_{(0)ik}(x^l) + h_{ik} + \delta g_{ik} \\ h'_{ik} &= h_{ik} - \frac{\partial \xi_k}{\partial x^i} - \frac{\partial \xi_i}{\partial x^k} \tag{107.4} \end{align*}\]補助条件を \(h_{ik}\) に与える（いわゆるゲージ固定）。
\[\begin{equation} \frac{\partial \phi^k_i}{\partial x^k}=0 \quad \left( \phi^k_i = h^k_i - \frac{1}{2}\delta^k_i h \right) \tag{107.5} \end{equation}\]リッチ・テンソルから、
\[\begin{equation} R_{ik} = \frac{\partial \Gamma^l_{ik}}{\partial x^l} - \frac{\partial \Gamma^l_{il}}{\partial x^k} + \Gamma^l_{ik}\Gamma^m_{lm} - \Gamma^m_{il}\Gamma^l_{km} \tag{92.7} \end{equation}\] \[\begin{equation*} \delta A_i = \Gamma^m_{il}A_m dx^i \end{equation*}\]共変曲率テンソルの形がどうなるか考える。
\[\begin{equation} R_{iklm} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 g_{im}}{\partial x^k\partial x^l} + \frac{\partial^2 g_{kl}}{\partial x^i\partial x^m} - \frac{\partial^2 g_{il}}{\partial x^k\partial x^m} - \frac{\partial^2 g_{km}}{\partial x^i\partial x^l} \right) + g_{np}(\Gamma^n_{kl}\Gamma^p_{im} - \Gamma^n_{km}\Gamma^p_{il}) \tag{92.1} \end{equation}\]\(h_{ik} \ll 1\) という弱い重力場の条件下では \(\Gamma^i_{kl} \ll 1\) と見なすことが妥当。ゆえに
\[\begin{equation*} (\Gamma^m_{kl}\Gamma^p_{im} - \Gamma^m_{km}\Gamma^p_{il}) \rightarrow 0 \end{equation*}\]したがって \(R_{iklm}\) は以下の形が妥当である。
\[\begin{equation*} R_{iklm} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 g_{im}}{\partial x^k\partial x^l} + \frac{\partial^2 g_{kl}}{\partial x^i\partial x^m} - \frac{\partial^2 g_{il}}{\partial x^k\partial x^m} - \frac{\partial^2 g_{km}}{\partial x^i\partial x^l} \right) \end{equation*}\]\(R_{ik}\)については、以下のように近似できるとした。
\[\begin{equation*} R_{ik} = g^{lm}R_{limk} \simeq g^{(0)lm}R_{limk} \end{equation*}\]よって、
\[\begin{align*} R_{ik} &= g^{(0)lm} \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 g_{lk}}{\partial x^i\partial x^m} + \frac{\partial^2 g_{im}}{\partial x^l\partial x^k} - \frac{\partial^2 g_{lm}}{\partial x^i\partial x^k} - \frac{\partial^2 g_{ik}}{\partial x^l\partial x^m} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( g^{(0)lm}\frac{\partial^2 g_{lk}}{\partial x^i\partial x^m} + g^{(0)lm}\frac{\partial^2 g_{im}}{\partial x^l\partial x^k} - g^{(0)lm}\frac{\partial^2 g_{lm}}{\partial x^i\partial x^k} - g^{(0)lm}\frac{\partial^2 g_{ik}}{\partial x^l\partial x^m} \right) \end{align*}\]\(g_{ik} = g^{(0)}_{ik} + h_{ik}\) だから、
\[\begin{align*} R_{ik} &= \frac{1}{2} \left( -g^{(0)lm}\frac{\partial^2 h_{ik}}{\partial x^l\partial x^m} + g^{(0)lm}\frac{\partial^2 h_{im}}{\partial x^l\partial x^k} + g^{(0)lm}\frac{\partial^2 h_{lk}}{\partial x^i\partial x^m} - g^{(0)lm}\frac{\partial^2 h_{lm}}{\partial x^i\partial x^k} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( -g^{(0)lm}\frac{\partial^2 h_{ik}}{\partial x^l\partial x^m} + \frac{\partial^2 h_i^l}{\partial x^l\partial x^k} + \frac{\partial^2 h_k^l}{\partial x^i\partial x^l} - \frac{\partial^2 h}{\partial x^i\partial x^k} \right) \end{align*}\]ここで、カッコ内の最後の3項は以下のようにキャンセルされる。実際には、そうなるように先ほどのゲージ固定を行ったのである。 式 (107.5) より \(\frac{\partial \phi^k_i}{\partial x^k}=0 \quad \left( \phi^k_i = h^k_i - \frac{1}{2}\delta^k_i h \right)\) だから、\(h^k_i = \phi^k_i + \frac{1}{2}\delta^k_i h\) となり、
\[\begin{align*} &\frac{\partial^2 h_i^l}{\partial x^l\partial x^k} + \frac{\partial^2 h_k^l}{\partial x^i\partial x^l} - \frac{\partial^2 h}{\partial x^i\partial x^k} \\ &= \frac{\partial^2 \left( \phi^i_l + \frac{1}{2}\delta^l_i h \right)}{\partial x^l\partial x^k} + \frac{\partial^2 \left( \phi^k_l + \frac{1}{2}\delta^l_k h \right)}{\partial x^i\partial x^l} - \frac{\partial^2 h}{\partial x^i\partial x^k} \\ &= \frac{1}{2}\delta^l_i \frac{\partial^2 h}{\partial x^l\partial x^k} + \frac{1}{2}\delta^l_k \frac{\partial^2 h}{\partial x^i\partial x^l} - \frac{\partial^2 h}{\partial x^i\partial x^k} \\ &= \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial x^i\partial x^k} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial x^i\partial x^k} - \frac{\partial^2 h}{\partial x^i\partial x^k} \\ &= 0 \end{align*}\]式 (107.5) の条件 \(\frac{\partial \phi^k_i}{\partial x^k}=0\) は、デ・ドンデールゲージ（De Donder gauge）と呼ばれる。別名 harmonic coordinate gauge である。 余分な自由度を固定して式の見通しをよくする手法は、ここにあったのだ！ Maxwell方程式に対するゲージ固定条件の一つであるローレンツゲージ \(\partial_{\mu} A^{\mu} = 0\) からの着想らしい。
結局、次のように単純化される：
\[\begin{equation*} R_{ik} = \frac{1}{2} \left( -g^{(0)lm} \frac{\partial^2 h_{ik}}{\partial x^l\partial x^m} \right) = \frac{1}{2}\Box h_{ik} \quad \left( \Box = \Delta - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \end{equation*}\]アインシュタイン方程式そのもの：
\[\begin{equation*} R_{ik} - \frac{1}{2}g_{ik}R = \frac{8\pi k}{c^4}T_{ik} \end{equation*}\]について、伝播する空間は物質やエネルギーが存在しない真空と仮定し、\(T_{ik} \rightarrow 0\) とおく。
一方、\(R_{ik}\) については、 アインシュタイン方程式で \(T_{ik} \rightarrow 0\) とおくと、
\[\begin{equation*} R_{ik} - \frac{1}{2}g_{ik}R = 0 \end{equation*}\]となる。ここで両辺に対し、\(g^{ik}\)で縮約を取ると、
\[\begin{equation*} g^{ik}\left(R_{ik} - \frac{1}{2}g_{ik}R \right) = R - \frac{1}{2}(4)R = -R = 0 \end{equation*}\]となる。\(R\)は物質やエネルギーの存在しない空間では厳密に\(R=0\)である。 ゆえに、\(\frac{1}{2}\Box h_{ik} = 0\)、すなわち、
\[\begin{equation} \Box h_{ik} = 0 \tag{107.8} \end{equation}\]ようやく、四次元時空を伝わる波動方程式があらわれ、\(h_{ik}\) が光速 \(c\) で伝わる「重力波」であるということができる!!!
参考：ランダウ・リフシッツ『場の古典論』